最长回文子串

Posted on:2021年11月18日 at 21:08

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

输入：s = "a"
输出："a"

输入：s = "ac"
输出："a"

1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母（大写和/或小写）组成

暴力枚举法

思路

暴力解法虽然时间复杂度高，但是思路清晰、编写简单，因为编写的正确性高，完全可以使用暴力匹配算法检验我们编写的算法的正确性。

代码

var longestPalindrome_bf = function (s) {
  if (!s) return "";
  var longest = s[0],
    str,
    i,
    j,
    len;
  var isPalindrom = function (left, right) {
    while (left < right && s[left] === s[right]) {
      left++;
      right--;
    }
    return left >= right;
  };
  for (len = 2; len <= s.length; len++) {
    for (i = 0; i < s.length; i++) {
      j = i + len - 1;
      if (isPalindrom(i, j)) {
        str = s.slice(i, j + 1);
        if (longest.length < str.length) longest = str;
      }
    }
  }
  return longest;
};

复杂度

中心扩散法

思路

暴力法时间复杂度比较高，除此之外，还容易想到的是枚举可能出现的回文子串的“中心位置”，从“中心位置”尝试尽可能扩散出去，得到一个回文串。

遍历原字符串，每个字符或每两个字符中间，都可能被当成回文子串的中心，利用回文串的中心对称的特点，尽量往两边扩散，获取最大的“扩散面积”

因此，中心扩散法的思路是：遍历每一个索引，以这个索引为中心，利用“回文串”中心对称的特点，往两边扩散，看最多能扩散多远。

枚举“中心位置”时间复杂度为 O(n) ，从“中心位置”扩散得到“回文子串”的时间复杂度为 O(n) ，因此时间复杂度可以降到 O(n^2)。

在这里要注意一个细节：回文串在长度为奇数和偶数的时候，“回文中心”的形式是不一样的。

代码

/**
 * @param {string} s
 * @return {string}
 */
var longestPalindrome = function (s) {
  if (!s) return "";
  if (s.length === 1) return s;
  if (s.length === 2) return s[0] === s[1] ? s : s[1];
  let maxStr = "",
    len = s.length;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    let even = "", // 定义偶数中心回文
      odd = ""; // 定义奇数中心回文
    if (s[i] === s[i + 1]) {
      // 若是偶数中心回文
      let evenIndex = center(s, i - 1, i + 2); // 比较中心的前一项和后一项
      even = s.slice(evenIndex.left, evenIndex.right);
    }
    let oddIndex = center(s, i - 1, i + 1); // 奇数中心回文
    odd = s.slice(oddIndex.left, oddIndex.right);
    let longer = even.length > odd.length ? even : odd; // 比较奇、偶
    maxStr = maxStr.length > longer.length ? maxStr : longer;
  }
  return maxStr;
};
// 中心扩展
function center(s, left, right) {
  let len = s.length;
  while (left >= 0 && right < len && s[left] === s[right]) {
    left--;
    right++;
  }
  return { left: left + 1, right: right };
}

动态规划

DP可能是解这个问题的一个好方法，然而算法复杂度依然是 O(N^2) 的，而且空间复杂度也是 O(N^2)。

我们假设用 P[i][j] 来表示 s[i..j] 是否是一个回文子串。

它的计算公式长这样：

P[i][j] = s[i] === s[j] && P[i + 1][j - 1] ? true : false;

var longestPalindrome_dp = function (s) {
  var i, j, len;
  // isPalindrom[i][j] represent s[i..j] is a parlindrom string or not.
  var isPalindrom = new Array(s.length);
  for (i = 0; i < s.length; i++) {
    isPalindrom[i] = new Array(s.length).fill(false);
  }
  var maxLen = 1,
    longestBegin = 0;
  // initialize
  for (i = 0; i < s.length; i++) {
    isPalindrom[i][i] = true;
    if (i < s.length - 1 && s[i] === s[i + 1]) {
      isPalindrom[i][i + 1] = true;
      maxLen = 2;
      longestBegin = i;
    }
  }
  // compute
  for (len = 3; len <= s.length; len++) {
    for (i = 0; i < s.length; i++) {
      j = len + i - 1;
      if (s[i] === s[j] && isPalindrom[i + 1][j - 1]) {
        isPalindrom[i][j] = true;
        maxLen = len;
        longestBegin = i;
      }
    }
  }
  return s.slice(longestBegin, longestBegin + maxLen);
};

动态规划 2

思路

DP 的空间复杂度是 O(N^2) 的，主要用来保存二维数组 P[i][j]，而且只用了一半。

我们可以把空间复杂度降到 O(1)，只存找到的最长回文串即可。枚举轴心位置，并进行扩展。如果是回文，则轴心两边的字符应该对称相等。

需要考虑到长度奇偶情况的不同，如果是奇数长度，轴心就是一个字符；如果是偶数长度，轴心则不在字符串中

实现

var longestPalindrome_enum = function (s) {
  if (!s) return "";
  var longest = s[0];
  var expandAroundCenter = function (left, right) {
    while (left >= 0 && right < s.length && s[left] === s[right]) {
      left--;
      right++;
    }
    return s.slice(left + 1, right);
  };
  for (var i = 0; i < s.length; i++) {
    // 奇数
    var odd = expandAroundCenter(i, i);
    if (odd.length > longest.length) longest = odd;
    // 偶数
    var even = expandAroundCenter(i, i + 1);
    if (longest.length < even.length) longest = even;
  }
  return longest;
};

Manacher 算法

相比降低空间复杂度，降低时间复杂度要难得多。这里有一个 O(N) 时间复杂度的算法，叫做 Manacher 算法。

能够从 O(N^2) 降到 O(N)，这个算法很巧妙。它首先解决了长度奇偶不同的问题。

通过向字符串中加入一些特殊字符来使长度均为奇数。特殊字符即为原字符串的字符集中没有的字符。如 ‘aba’ 中插入 ’#‘，变成’#a#b#a#‘。

然后提出了一个回文半径（P）的概念：

T = # a # b # a # a # b # a #
P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

它代表了以该字符为轴心的回文串对折后的长度。由于插入了特殊字符，如果最长回文字符串的长度为偶数，则轴心会出现在 ’#’ 上。

容易看出上面的例子中，最大回文子串的轴心就是 P 为 6 的字符。最大回文子串为 ‘abaaba’ ，长度刚好为 6.

这显然不是巧合，接下来就是要计算 P，记下其最大值及对应下标，即可。目标时间复杂度 O(N)。当然，这个算法最难的部分，就是计算 P。

正常计算 P 的话，时间复杂度依然是 O(N^2)，但是如果利用回文串的对称特性，减少搜索，就可以将复杂度降至 O(N)。

计算 P 就是以每一个字符为轴心计算回文半径，也就是从每一个字符开始向两边搜索，那么右边必然会搜索到尚未遍历到的字符，如果我们记下最大能搜索到的右边界 R 。在后面的遍历搜索中，如果当前 T[i] 在边界内，即比最大右边界小，那么也就是在一个已搜索的回文子串中，假设 i’ 是 i 对应当前最大 R 的轴心 C 的对称位置（即 T[i] == T[i’]）， 可以做出下面的结论：

if P[i'] < R-i
then P[i] = P[i']
else P[i] >= P[i'] （需要进一步扩展搜索得出）

另一种情况，如果当前字符 T[i] 不在边界内，即我们不能得出任何结论，所以 P[i] = 0。

代码

var longestPalindrome_manacher = function (s) {
  s = "^#" + s.split("").join("#") + "#$";
  var radius = new Array(s.length).fill(0);
  var C = 0,
    centerIndex = 0,
    maxRight = 0,
    maxLen = 0;

  for (var i = 1; i < s.length - 1; i++) {
    // 计算初始回文半径, i' = 2 * C - i
    radius[i] = maxRight > i ? Math.min(maxRight - i, radius[2 * C - i]) : 0;
    // 扩展半径
    while (
      s[i + 1 + radius[i]] &&
      s[i - 1 - radius[i]] &&
      s[i + 1 + radius[i]] === s[i - 1 - radius[i]]
    )
      radius[i]++;
    // 更新当前搜索的最大右边界和位置
    if (i + radius[i] > maxRight) {
      C = i;
      maxRight = i + radius[i];
    }
    // 更新最大回文串长度及位置
    if (maxLen < radius[i]) {
      maxLen = radius[i];
      centerIndex = i;
    }
  }

  return s
    .slice(centerIndex - maxLen, centerIndex + maxLen + 1)
    .split("#")
    .join("");
};
原文转自：https://fe.ecool.fun/topic/b1d982b1-a2fc-44b7-9124-7f47ba2a4707