搜索二维矩阵

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

• 每行中的整数从左到右按升序排列。
• 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

示例 1：

输入： matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3

输出： true

示例 2：

输入： matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13

输出： false

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• -104 <= matrix[i][j], target <= 104

/**
 * @param {number[][]} matrix
 * @param {number} target
 * @return {boolean}
 */
var searchMatrix = function (matrix, target) {};

方法一：两次二分查找

思路

由于每行的第一个元素大于前一行的最后一个元素，且每行元素是升序的，所以每行的第一个元素大于前一行的第一个元素，因此矩阵第一列的元素是升序的。

我们可以对矩阵的第一列的元素二分查找，找到最后一个不大于目标值的元素，然后在该元素所在行中二分查找目标值是否存在。

代码

var searchMatrix = function(matrix, target) {
    const rowIndex = binarySearchFirstColumn(matrix, target);
    if (rowIndex < 0) {
        return false;
    }
    return binarySearchRow(matrix[rowIndex], target);
};

const binarySearchFirstColumn = (matrix, target) => {
    let low = -1, high = matrix.length - 1;
    while (low < high) {
        const mid = Math.floor((high - low + 1) / 2) + low;
        if (matrix[mid][0] <= target) {
            low = mid;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }
    return low;
}

const binarySearchRow = (row, target) => {
    let low = 0, high = row.length - 1;
    while (low <= high) {
        const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
        if (row[mid] == target) {
            return true;
        } else if (row[mid] > target) {
            high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return false;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log m + log n)=O(log mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。

• 空间复杂度：O(1)。

方法二：一次二分查找

思路

若将矩阵每一行拼接在上一行的末尾，则会得到一个升序数组，我们可以在该数组上二分找到目标元素。

代码实现时，可以二分升序数组的下标，将其映射到原矩阵的行和列上。

代码

var searchMatrix = function(matrix, target) {
    const m = matrix.length, n = matrix[0].length;
    let low = 0, high = m * n - 1;
    while (low <= high) {
        const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
        const x = matrix[Math.floor(mid / n)][mid % n];
        if (x < target) {
            low = mid + 1;
        } else if (x > target) {
            high = mid - 1;
        } else {
            return true;
        }
    }
    return false;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。

• 空间复杂度：O(1)。

结语

两种方法殊途同归，都利用了二分查找，在二维矩阵上寻找目标值。值得注意的是，若二维数组中的一维数组的元素个数不一，方法二将会失效，而方法一则能正确处理。